Jest Pan autorem projektu pt. „Problemy spełnialności i równoważności dla skończonych algebr”, nagrodzonego w ramach konkursu OPUS 23 Narodowego Centrum Nauki. Co kryje się pod tą tajemniczą nazwą?

W moim projekcie, mówiąc bardzo ogólnie, skupiam się na problemach dotyczących rozwiązywania równań nad skończonymi strukturami algebraicznymi. Aby przybliżyć czytelnikom, jakiego rodzaju są to problemy, odwołam się do szkolnej matematyki. Każdy z nas rozwiązywał jakieś równania. Gdy obejmowały one tylko dodawanie, to nie przysparzały nam trudności. Ale gdy obok dodawania występowało mnożenie, wówczas pojawiały się kłopoty. Jeśli tego mnożenia było jeszcze więcej, mieliśmy wielomiany wyższych stopni, wtedy czasami wręcz nie potrafiliśmy takich równań rozwiązać. Właśnie tym mniej więcej się zajmuję, czyli odpowiadam na pytanie, czy w przypadku danego zbioru operacji (może on zawierać np. samo dodawanie albo dodawanie z mnożeniem bądź zupełnie dowolnie wybrane działania) równania rozwiązuje się łatwo czy trudno.

Na czym te problemy, pojawiające się podczas rozwiązywania równań, mogą polegać?

Jak już powiedziałem – są równania, które można bardzo łatwo rozwiązać, jak np. równania liniowe, ale są też bardzo trudne do rozwiązania, czego przykładem może być m.in. wynik Matijasiewicza. Zgodnie z tym twierdzeniem nie istnieje algorytm mogący stwierdzić, czy dane równanie wielomianów posiada rozwiązanie, w którym wszystkim zmiennym przypisujemy wartości ze zbioru liczb całkowitych. Brak algorytmu oznacza, że komputery nigdy nie będą potrafiły rozwiązać tego problemu. W przypadku skończonych struktur (właśnie nimi zajmuję się w swoich badaniach), kiedy zmienne mogą przyjmować wartości ze skończonego zbioru – wówczas zawsze da się stwierdzić, czy istnieje rozwiązanie danego równania. Można sprawdzić wszystkie potencjalne rozwiązania, wstawić za zmienne wszystkie możliwe wartości i policzyć, czy dla któregoś zbioru wartości równanie jest spełnione. Jest jednak pewien minus tego sposobu rozwiązywania równań – zabiera wiele czasu. W informatyce mówimy o wykładniczej złożoności czasowej. Oznacza to, że w praktyce w ten sposób nie da się niczego rozwiązać, bo zabraknie nam po prostu na to czasu. W swoim projekcie dowodzę, dla jakich struktur skończonych istnieją efektywne (szybkie) algorytmy rozwiązujące równania.

Kto będzie brał udział w badaniach?

Jestem kierownikiem grantu, a więc także kierownikiem zespołu, który niedługo powstanie. W zespole są przewidziane jeszcze dwa miejsca: dla młodego doktora, tzw. postdoca, oraz wykonawcy, którym może być dowolny pracownik posiadający tytuł magistra.

Każdy naukowiec przechodzi inną drogę do uzyskania grantu i nie zawsze jest ona łatwa. A Panu trudno było go uzyskać?

Poniekąd tak, ponieważ aplikowałem nie po raz pierwszy, ale dopiero teraz udało mi się otrzymać grant. Istnieją tak naprawdę dwa czynniki, które mają na to wpływ. Pierwszy to dorobek publikacyjny, a drugi – sensowność samego projektu. Oba są ze sobą powiązane, bowiem np. publikowanie artykułów dotyczących swoich badań w wysoko punktowanych czasopismach jest swego rodzaju potwierdzeniem, że mają one sens.

Aplikowanie w tego typu konkursach daje pewną niezależność. Przykładowo w informatyce bardzo ważną częścią pracy naukowca jest uczestniczenie w konferencjach. Wiele z nich odbywa się w różnych częściach świata. Koszty związane z wyjazdem są zwykle bardzo wysokie, ale można je pokryć właśnie w ramach uzyskanego grantu.

Na co jeszcze można przeznaczyć finansowanie?

Przede wszystkim na badania i związane z nimi – jak już wspomniałem – wyjazdy na konferencje, zakup sprzętu, ale także na wyjazdy do innych ośrodków naukowych oraz zapraszanie naukowców do swoich macierzystych jednostek. W moim przypadku największa część budżetu zostanie przeznaczona na zatrudnienie członków zespołu.

Moje zainteresowania naukowe skupiają się wokół problemów z pogranicza matematyki i informatyki, w szczególności problemów związanych z rozwiązywaniem równań. Oprócz prowadzenia badań zajmuję się również dydaktyką, która bardzo mocno się z nimi łączy. Myślę, że prowadzona na dobrym poziomie dydaktyka daje nadzieję na to, że będziemy mieli w przyszłości następców, czyli członków zespołów badawczych, którzy będą pozyskiwali później własne granty.

Wiem, że prowadzone w ramach projektu badania mają charakter teoretyczny. Ale jest pewna dziedzina z nimi związana...

Zgadza się. Chodzi o kryptografię, czyli zapewnienie bezpieczeństwa np. naszym pieniądzom w bankach, komputerom, danym osobowym, którymi posługujemy się w wirtualnym świecie. To wszystko opiera się na kryptografii, a ona z kolei odwołuje się do badań nad skończonymi strukturami. Moje badania nie będą miały raczej bezpośredniego przełożenia na kryptografię, ale mogą mieć wpływ na to, jak ją będziemy postrzegać w przyszłości. Większość ludzi nie uświadamia sobie, że w gruncie rzeczy nie mamy żadnych dowodów na to, że kryptografia działa. Nie potrafimy łamać szyfrów, których używa się chociażby do zabezpieczenia pieniędzy w bankach i transakcji bankowych, ale nie mamy pewności, że kiedyś ktoś nie będzie potrafił ich złamać. Przechodząc do sedna – moje badania mogą mieć wpływ na uświadomienie społeczeństwu, że być może jednak wszystko da się łatwo rozwiązać.

Rozmawiała Magdalena Cichocka
Fot. Bartosz Proll